Méthodes numériques avancées

Responsable de l'UE : Fadi BAIDA

Objectifs

- Comprendre et établir un model pour simuler un phénomène physique. •

- Maîtrise de quelques techniques et algorithmes de base pour la modélisation en physique en général et plus spécifiquement en optique électromagnétique. •

- Mise au point et exploitation de codes de calculs scientifiques. •

- Méthodes mathématiques et numériques avancées pour la modélisation en physique.

-Expérience pratique de l'implémentation des schémas d'intégration numérique dans des cas précis : o propagation linéaire (effet de dispersion), et non linéaire d'une onde lumineuse dans une fibre (dispersion + automodulation de phase, résolution numérique de l'équation de Schrödinger non linéaire). o résolution numérique par Runge-Kutta et Prédicteur-Correcteur, en régime chaotique, d'une équation différentielle ordinaire (système de Lorenz), et d'une équation différentielle non linéaire à retard.

Pré-requis

- Équations de Maxwell et relations constitutives, équations de propagation, •

Théorie des milieux en électromagnétisme (diélectriques, magnétiques, dispersion…),

- Optique physique,

- Notions de base sur les ondes, lumineuses en particulier,

- Notions de calcul scientifique : résolution numérique d’EDPs, algèbre linéaire numérique, intégration et dérivation numériques, recherche de zéros et de pôles…

Contenus

Méthodes numériques avancées pour l’électromagnétisme (12h/12h/16h)

1. Modélisation en électromagnétisme Résolution des équations de Maxwell, concepts des solutions statiques et dynamiques, méthodes numériques dans les domaines temporel et fréquentiel, discrétisation spatiale et transformation spectrale. Applications.

2. Construction de codes de calcul pour la simulation en optique Modélisation de la transmission de la lumière à travers des systèmes multicouches. Notion de matrice T et algorithme S. Applications aux systèmes antireflets, capteurs à plasmons de surface, réseaux de diffraction, guides cylindriques, … Introduction aux méthodes rigoureuses : méthodes différentielle (CRWA ou FMM), modale, intégrale et multipolaire. Applications : Cristaux photoniques, fibres optiques microstructures, réseaux de diffraction métalliques, guides métalliques, ...

Introduction complète à la méthode FDTD (Finite Difference Time Domain) dans sa version 1D et 2D. Notion de stabilité, maillage non uniforme, problèmes de dispersion et de conditions aux limites absorbantes (Mur et PML). Applications : microlentilles, tamis à photons, résonateurs, fentes d’Young, sondes SNOM, Nano-antennes, …

Méthodes numériques avancées pour les systèmes non-linéaires (4h/4h/12h)

- Equation aux dérivées partielles scalaires, non linéaire Présentation physique de l'équation d'amplitude de propagation d'une onde lumineuse dans une fibre, description mathématique du problème. Principe de la méthode Split-Step Fourier, mise en oeuvre, analyse des résultats en fonction des paramètres physiques et numériques.

- Equation différentielle non linéaire Présentation physique d'une équation différentielle ordinaire à 3 degrés de liberté (système de Lorenz, ou circuit de Chua), brève analyse de stabilité. Intégration numérique par Runge-Kutta et Prédicteur-Correcteur, analyse des résultats en fonction des paramètres physiques et numériques. Approche des notions de sensibilité aux conditions initiales, et des principes de calcul des exposants de Lyapunov.

- Equation scalaire non linéaire à retard Principe de dérivation d'une équation non linéaire à retard, exemples concrets (Mackey-Glass, Ikeda). Mise en oeuvre d'une intégration numérique, effet mémoire. Analyse des résultats d'intégration numérique.